Question

【题目】如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正确结论的序号是________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根据∠G=∠C=∠FAD=90°，可知K型全等，证得△ACD≌△FGA ，所以AC=FG；FG =BC，FG∥BC，可得四边形BFGC是平行四边形，再加∠C=90°，可得四边形BFGC是矩形；根据△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ABF；由AD2=FQ·AC，可知是证△ACD∽△FEQ，再根据四边形ADEF是正方形就可证得．

解：∵∠G=∠C=∠FAD=90°，

∴∠CAD=∠AFG．

∵AD=FA，

∴△ACD≌△FGA，

∴AC=FG，故①正确；

∵FG=AC=BC，FG∥BC，∠C=90°，

∴四边形CBFG为矩形，

∴S△FAB=FB·FG=S四边形CBFG，

故②正确；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

∴∠ABC=∠ABF=45°，

故③正确；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC∶FE=AD∶FQ，

∴AD·FE=AD2=FQ·AC，

故④正确．

故答案为：①②③④．