Question

【题目】已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．

（1）c＝　 　，点A的坐标为　 　．

（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．

（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0，（4，0）；（2）a＝；（3）0＜a＜．

【解析】

（1）根据题意和题目中的函数解析式可以求得c的值和点A的坐标；

（2）根据（1）中点A得坐标和二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，可以求得a的值；

（3）根据题意可以求得点B的坐标，然后根据二次函数与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（，0），二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，可以求得a的取值范围．

（1）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，

∴当x＝0时，c＝0，

将y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4，即点A的坐标为（4，0），

故答案为：0，（4，0）；

（2）∵二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，点A的坐标为（4，0），

∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，

解得，a＝；

（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，

∴函数y＝ax2﹣（2a+1）x过点（0，0）和（，0），

∵点A（4，0），点O的坐标为（0，0），二次函数y＝ax2+（2a+1）x（a＞0）的图象与△AOB只有一个公共点，

∴，a＞0，

解得，0＜a＜，

即a的取值范围是0＜a＜．