题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-1，2），D（3，0），连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线经过点D、M、N。
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值。
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值。
解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，
∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），
∴N（-3，2），则
，解得
，
∴
；
（2）连接AC交y轴与G，
∵M是BC的中点，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为y=kx+b，则
，解得
，
∴y=-x+1，
∴
，解得
，
∴P
或P
；
（3）∵
，
∴对称轴x=-
，
令
，解得
，∴E（-6，0），
故E、D关于直线x=-
对称，
∴QE=QD，
∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-
的交点，
由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
，解得
，∴y=-x+3，
当x=-
时，y=
x+3=
，
故当Q在（
，
）的位置时，|QE-QC|最大，
过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=
。
∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），
∴N（-3，2），则
，解得，∴
；（2）连接AC交y轴与G，
∵M是BC的中点，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，
∴点P为直线BG与抛物线的交点，
设直线BG的解析式为y=kx+b，则
，解得，∴y=-x+1，
∴
，解得，∴P
或P；（3）∵
，∴对称轴x=-
，令
，解得，∴E（-6，0），故E、D关于直线x=-
对称，∴QE=QD，
∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，则延长DC与x=-
相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-的交点，由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则
，解得，∴y=-x+3，当x=-
时，y=x+3=，故当Q在（
，）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=
。
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