Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．

（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP＝∠B；

（2）如图②，AC＝8，BC＝6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

Answer 1

解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O 的半径，

∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，∴BC与⊙O相切．

∵⊙O与AB边相切于点P，∴BC＝BP．

∴∠BCP＝∠BPC＝．

∵∠ACP＋∠BCP＝90°，

∴∠ACP＝90°－∠BCP＝90°－ ＝∠B．

即2∠ACP＝∠B．                                                        

（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝＝10．

如图，当点O在CB上时，OC为⊙O 的半径，

∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，∴AC与⊙O相切．

连接OP、AO．∵⊙O与AB边相切于点P，∴OP⊥AB．

设OC＝x，则OP＝x，OB＝BC－OC＝6－x．

∵AC＝AP，∴PB＝AB－AP＝2．

在△OPB中，∠OPB＝90°，OP²＋BP²＝OB²，

即x²＋2²＝(6－x)²，解得 x＝．

在△ACO中，∠ACO＝90°，AC²＋OC²＝AO²，

AO＝＝．

∵AC＝AP，OC＝OP，∴AO垂直平分CP．

∴CP＝2＝．

由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长．

综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．