Question

如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等边三角形，其中正确的结论是

 

（填序号）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：①由等边三角形的性质就可以得出△ADC≌△BEA，就有∠ACD=∠BAE，CD=AE；
②由三角形的外角与内角的关系可以得出∠AFC=∠ADC+∠DAE=∠ADC+∠DCA，根据三角形的内角和就可以求出结论；
③由∠AFC=120°就可以得出∠AFD=60°，∠ADC=∠B+∠BCD＞60°，故△ADF不是等边三角形．

解答：解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠CAB=∠ABC=∠ACB=60°．
在△BEA和△ADC中

BE=AD ∠ABC=∠CAB BA=AC

，
∴△BEA≌△ADC（SAS），
∴AE=CD
∠BAE=∠ACD；
②∵∠AFC=∠ADC+∠DAE，
∴∠AFC=∠ADC+∠DCA．
∵∠ADC+∠DCA+∠BAC=180°，
∴∠ADC+∠DCA=120°，
∴∠AFC=120°；
③∵∠AFC+∠AFD=180°，
∴∠AFD=60°．
∵∠ADC=∠BCD+∠B，
∴∠ADC=∠BCD+60°≠60°，
∴∠AFD≠∠ADC≠∠DAF≠60°，
∴△ADF不是等边三角形．
故正确的有①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．