Question

【题目】已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图1，若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大?若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；点的坐标为，点的坐标为．（2）存在，点的坐标为，四边形的面积的最大值为32．（3）点的坐标为，，或．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，），过点P作PD//y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（m，），进而可得出MN=||，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．

（1）∵抛物线的对称轴是直线，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为．

当时，，解得，，

∴点的坐标为，点的坐标为．

答：抛物线的解析式为；点的坐标为，点的坐标为．

（2）当时，，

∴点的坐标为．

设直线的解析式为，

将，代入得解得

∴直线的解析式为．

假设存在点，使四边形的面积最大，

设点的坐标为，

如下图所示，过点作轴，交直线于点，

则点的坐标为，

则，

∴

，

∴当时，四边形的面积最大，最大值是32．

∵，

∴存在点，使得四边形的面积最大．

答：存在点，使得四边形的面积最大；

点的坐标为，四边形的面积的最大值为32．-

（3）设点的坐标为，则点N的坐标为，

∴，

又∵，

∴，

当时，，解得，，

∴点的坐标为或；

当或时，，解得，，

∴点的坐标为或．

答：点的坐标为，，或．