Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，F是AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为________．

Answer 1

4
分析：求出AD=BD，求出∠ADC=∠ADB=90°，∠CAD=∠FBD，根据ASA证△BDF≌△BDC，根据全等三角形的性质推出DF=DC即可．
解答：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
在△BDF和△BDC中

∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC=4，
故答案为：4．
点评：本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，定义三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．