题目内容
（1）观察下列各图，第①个图中有1个三角形，第②个图中有3个三角形，第③个图中有6个三角形，第④个图中有______个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有______个三角形（用含正整数n的式子表示）；
（2）（1）中是否存在一个图形，该图形中共有29个三角形？若存在请画出图形；若不存在请通过具体计算说明；
（3）图③中，点B线段AC的中点，D为AC延长线上一个动点，记△PDA的面积为S1；△PCB的面积为S2；△PDC的面积为S3．下列两个结论（1）
是定值；（2）
是定值．有且只有一个结论是正确的，请作出选择并求值．
解：（1）由题意得出规律，第n个图时，应该有三角形的个数为
个；
（2）当=29，
化简得：n2+n-58=0，
由于这个方程中没有正整数解，因此不管是第几个图形，都不可能有29个三角形；
（3）=2，
∵AB=BC，且三角形ABP和三角形BCP的底边AB，CD上的高相等，
∴S△ABP=S△BCP=
S△APC，
因此S△APC=S△APD-S△PCD=S1-S3=2S2，即=2．
分析：（1）我们看到后一个图形的三角形的个数与上一个图形中三角形的个数的差是递增的（1，1+2，3+3，6+4，10+5，…），因此我们可得出到第n个图时，应该有三角形的个数为个；
（2）将29代入（1）得出的式子中，看看是否有整数解即可；
（3）可根据AB=AC得出三角形ABP，BCP的面积相等，因此三角形BCP的面积就是三角形APC的面积的一半，三角形APC的面积=三角形APD的面积-三角形PCD的面积，因此=2是成立的．
点评：本题考查了三角形和规律性等知识点，读懂题中给出的条件是解题的关键．
个；（2）当
=29，化简得：n2+n-58=0，
由于这个方程中没有正整数解，因此不管是第几个图形，都不可能有29个三角形；
（3）
=2，∵AB=BC，且三角形ABP和三角形BCP的底边AB，CD上的高相等，
∴S△ABP=S△BCP=
S△APC，因此S△APC=S△APD-S△PCD=S1-S3=2S2，即
=2．分析：（1）我们看到后一个图形的三角形的个数与上一个图形中三角形的个数的差是递增的（1，1+2，3+3，6+4，10+5，…），因此我们可得出到第n个图时，应该有三角形的个数为
个；（2）将29代入（1）得出的式子中，看看是否有整数解即可；
（3）可根据AB=AC得出三角形ABP，BCP的面积相等，因此三角形BCP的面积就是三角形APC的面积的一半，三角形APC的面积=三角形APD的面积-三角形PCD的面积，因此
=2是成立的．点评：本题考查了三角形和规律性等知识点，读懂题中给出的条件是解题的关键．
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