Question

（1）观察下列各图，第①个图中有1个三角形，第②个图中有3个三角形，第③个图中有6个三角形，第④个图中有

 

个三角形，…，根据这个规律可知第n个图中有

 

个三角形（用含正整数n的式子表示）．

（2）问在上述图形中是否存在这样的一个图形，该图形中共有25个三角形？若存在，请画出图形；若不存在，请通过具体计算说明理由．

Answer 1

分析：（1）易得第①个图形中有1个三角形，进而得到其余图形中三角形的个数是从1加到几即可；
（2）利用（1）得到的规律计算即可．

解答：解：（1）第①个图形中有1个三角形；
第②个图形中有1+2=3个三角形；
第③个图形中有1+2+3=6个三角形；
第④个图形中有1+2+3+4=10个三角形；
…
第n个图形中有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

个三角形；
故答案为：10；

n(n+1)

2

；

（2）

n(n+1)

2

=25，
n（n+1）=50，
∵没有正整数解，
∴不存在这样的一个图形，该图形中共有25个三角形．

点评：考查一元二次方程的应用及图形的变化规律；得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键．