Question

如图1，AC，BD相交于点O．已知∠A=∠D=90°，AC=BD．
（1）试说明OB=OC；
（2）连结BC，AD，设E，F分别为BC，AD的中点（图2），试说明EF⊥AD

Answer 1

分析：（1）连接BC，首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，再根据等角对等边可得BO=CO．
（2）连接AF，DF，根据直角三角形中：斜边上的中线等于斜边的一半可证明AF=DF，再根据等腰三角形的性质即可得到EF⊥AD．

解答：证明：（1）在Rt△ABC和Rt△DCB中，

AC=BD BC=BC

，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO；

（2）连接AF，DF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC，△BDC是直角三角形，
∵F为BC的中点，
∴AF=

1

2

BC，DF=

1

2

BC，
∴AF=DF，
∵EF为AD的中点，
∴EF⊥AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度不大，设计很好，是一道很不错的题目．