Question

已知：如图，四边形ABCD中AC、BD相于点O，AB=AC，AB⊥AC，BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC于E，OA=1．
（1）求OC的长；
（2）求证：BO=2CD．

Answer 1

分析：（1）由于BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC，可知O为∠ABC平分线上的一点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，求出OE的长，由于△ABC为等腰直角三角形，故知∠BCA=45°，∠CBA=45°，可知△OEC为等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OC的长；
（2）在直角三角形ABO中，由于AB=AC=1+

2

，AO=1，利用勾股定理求出BO的长，易得，△AOB∽△DOC，
利用相似三角形的性质求出CD的长，即可得出BO=2CD．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC，
∴OE=OA=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∵OE⊥BC，
∴△OEC为等腰直角三角形，
∴OC=

12+12

=

2

；

证明：（2）Rt△ABO中，AB=AC=1+

2

，AO=1，
BO=

(1+ 2 )2+12

=

4+2 2

，
易得，△AOB∽△DOC，

OB

OC

=

AB

CD

，
即

4+2 2

2

=

1+ 2

CD

，
CD=

2+ 2 2

=

4+2 2

2

，
则2CD=

4+2 2

，
可得BO=2CD．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，要注意计算过程中无理数的相关计算法则．