Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E．
（1）连接AP，求证：S_△APD=

1

2

S_矩形ABCD；
（2）设DP=y，AE=x，求y与x之间函数关系式；
（3）写出自变量x的取值范围，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）设△APD中AD边上的高为h，则h=AB=CD，S_△APD=

1

2

•AD•h=

1

2

•AD•AB=

1

2

S_矩形ABCD；
（2）由（1）的结论易求关系式；
（3）当P在B点位置时x最小，为

12

5

；当P在C点时x最大，为4，根据函数性质求y的最大值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°，AB=CD（1分）
∵S_△APD=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△DPC=AB•BC-

1

2

BP•AB-

1

2

PC•DC
=AB•BC-

1

2

（BP+PC）AB
=AB•BC-

1

2

BC•AB
=

1

2

AB•BC（3分）
又∵S_矩形ABCD=AB•BC
∴S_△APD=

1

2

S_矩形ABCD（4分）；

（2）∵AE⊥PD
∴S_△APD=

1

2

PD•AE（5分）
由（1）可知S_△APD=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

×3×4=6（6分）
∴

1

2

xy=6
y=

12

x

（7分）；

（3）当B，P重合时x最短为：

12

5

，当P，C重合时，x最长为4，
则自变量x的取值范围：

12

5

≤x≤4（10分）
∵在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当x=

12

5

时，y_最大=5（12分）．

点评：此题运用了图形的分割转化思想；把几何和函数性质联系起来很有创意．