Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，动点M，N分别从点B，C出发，沿BC，CD方向在BC，CD上运动，点M，N运动速度分别为2cm/s和1cm/s
（1）当点M，N运动了几秒时，有MN∥BD？
（2）点M在边BC上运动时，设点M运动的时间为t（s），是否存在某一时刻t（s），使得△AMN的面积最小？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，根据AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，利用三角函数求出梯形的高，再根据相似三角形的性质列出比例式，求出MN∥BD时所用时间；
（2）由于△AMN的面积=梯形的面积-△ADN的面积-△ABM的面积-△NMC的面积，分别用t表示出梯形的面积、△ADN的面积、△ABM的面积和△NMC的面积，便将△AMN的面积转化为二次函数最值问题解答．

解答：解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
在等腰梯形ABCD中，
∵AD=8cm，BC=14cm，
BE=CF=

1

2

（BC-AD）=

1

2

（14-8）=3cm，
又∵∠ABC=∠C=60°，
∴DC=AB=

3

cos60°

=3×2=6．
∵MN∥BD，
∴△CMN∽△CND，
∴

CM

CB

=

CN

CD

，
∴

14-2t

14

=

t

6

，
解得t=

42

13

．


（2）作NG⊥BC于G．
∵AE=DF=6×sin60°=6×

3

2

=3

3

cm，
又∵△AMN的面积=梯形的面积-△ADN的面积-△ABM的面积-△NMC的面积，
∴S_△NMC=

1

2

MC•NG=

1

2

（14-2t）t•sin60°=

3

4

（14-2t）t=-

3

2

t²+

7 3

2

t，
S_△ADN=

1

2

AD•（3

3

-t•sin60°）=

1

2

×8×（3

3

-t•sin60°）=12

3

-2

3

t，
S_△ABM=

1

2

BM•AE=

1

2

×2t•3

3

=3

3

tcm．
S_梯形ABCD=

1

2

3

3

•（8+14）=33

3

cm²．
则S_△AMN=33

3

+

3

2

t²-

7 3

2

t-12

3

+2

3

t-3

3

t
=33

3

+

3

2

t²-

7 3

2

t-12

3

+2

3

t-3

3

t
=

3

2

t²-

9 3

2

t+21

3

．
当t=-

- 9 3 2

2× 3 2

=

9

2

时，二次函数取得最小值．

点评：本题结合动点问题考查了等腰梯形的性质，作出梯形的高、求出梯形的两腰、并将三角形的最值问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．