Question

如图1，在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；
（1）填写下面的表格．

（2）试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，△ABC的高BE、CD交于O点，试说明图中∠A与∠BOD的关系．

Answer 1

解:（1）
（2）猜想：∠BOC=90°+∠A．
理由：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．
（3）证明：
∵△ABC的高BE、CD交于O点，
∴∠BDC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠A=∠BOD．