Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）。

(1)求抛物线的解析式和直线BD解析式
(2)过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由

Answer 1

解:(1)将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x²+bx+c
得
得：
∴y=x²+2x-3
由x²+2x-3=0，得：x₁=-3，x₂=1
∴B的坐标是（1,0），
设直线BD的解析式为y=kx+b
则，解得：
∴直线BD的解析式为y=x-1
(2)直线BD的解析式是y=x-1，且EF∥BD
∴直线EF的解析式为：y=x-a
若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3
由，得y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=
令=-3，解得：a₁=1，a₂=3
当a1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形.。