Question

【题目】（）如图，中，，是上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形．

（）如图，等边中，为边上一点，在的延长线上，且．

求证：．

（）已知：如图，在中，，，为边上一点，为延长线上一点，且，已知，．写出求线段长的具体思路（即添加辅助线的方法，推导的具体步骤详写，其它的写出关键步骤或结果即可），并给出最后结果．

Answer 1

【答案】（）见解析；（）见解析；（）

【解析】

（1）根据要求作图即可；

（2）延长BC至点F，使CF=BD，连结EF．易证△CEF为等边三角形，得到EF=CF，∠F=60°，从而可证△ABD≌△DFE，即可得到结论．

（3）过点C作D′ M′⊥BC，并取CD′=CM′=BD=BM．连结DD′、MM′、DM′，得到DD′=DM′，∠D′ DC=∠M′ DC，由（1）（2）可得∠D′ DC=∠BAD=7.5°，故∠CDM′=7.5°，可证得△AMM′和△ADD′为等腰直角三角形，得到AD=AD′=1，AM=AM′，DD′==DM′，∠ADD′=45°，∠ADM′=45°+7.5°+7.5°=60°．过A作AE⊥DM′于点E，得到∠DAE=30°，由30°直角三角形的性质得到DE，AE的长，进而得到EM′的长，由勾股定理即可得到结论．

（）如图，即为所求，

（）延长至点，使，连结．

∵为等边三角形，

∴，

∴，

∴为等边三角形．

∴．

∵，

∴，

又∵，

∴≌，

∴，得证．

（）过点作，并取，

连结、、，

则，

由（）（）可得，

∴，

由，

可证得≌≌，

所以和为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

过作于点，

∴，

∴，

∴，

∴

．