Question

如图，一次函数（m＜0）的图象经过定点A，与x轴交于点B，与y轴交于点E，AD⊥y轴于点D，将射线AB沿直线AD翻折，交y轴于点C．

（1）用含m的代数式分别表示点B，点E的坐标；
（2）若△ABC中AC边上的高为5，求m的值；
（3）若点P为线段AC中点，是否存在m的值，使△APD与△ABD相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）B（，0），E（0，）（2） （3）存在m的值，使△APD与△ABD相似，m的值为或或

试题分析：（1）当y=0时，，∴，∴B（，0）
当x=0时，y=，∴E（0，）． 
（2）由直线经过定点A，∴定点A（－4，3）． 
又∵AD⊥y轴，∴D（0，3）．
由翻折可知：CD=ED==，
∴CE=2CD=． 
当点B在原点右边时，
S_△ABC= S_△ACE+ S_△BCE=
===12．
当点B在原点左边时，
S_△ABC= S_△ACE－S_△BCE===12．
∴S_△ABC=12是不变化的． 
∵AC边上的高为5，
∴=12，∴AC=． 
∵AD=4，∠ADC=90°，CD=，
∴，解得，
又∵m＜0，∴． 
（3）存在m的值，使△APD与△ABD相似．  
①当点B在原点右边时，
只有△APD∽△ADB一种情形．
由AP=PD可得AD=DB=4．
∵OD=3，∴OB=，∴=，解得 ．
②当点B在原点左边时，
若△APD∽△ABD时，AB=DB，∴=－2，解得 ．
若△APD∽△ADB时，AD=DB=4，
∵OD=3，∴OB=，∴=－，解得 ．
∴存在m的值，使△APD与△ABD相似，
m的值为或或． 
点评：本题考查一次函数，相似三角形，解答本题需要考生掌握一次函数的概念和性质，熟悉相似三角形的判定方法，会证明两个三角形相似