Question

一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”．比如：2²-1²=3，3就是智慧数，2²-0²=4，4就是智慧数．从0开始第8个智慧数是

 

，不大于2014的智慧数共有

 

．

Answer 1

考点：平方差公式

专题：新定义

分析：根据智慧数的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案．

解答：解：首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵0²-0²=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）²-n²，所以所有的奇数都是智慧数，
③因为（n+2）²-n²=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第8个智慧数是：9，
∵2014÷4=503…2，
∴不大于2014的智慧数共有：503×3+1+1=1511．
故答案为：9，1511．

点评：此题主要考查了新定义，得出智慧数的分布规律是解题关键．