Question

【题目】已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且 ．

（1）求抛物线的方程；
（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知P（4，0），Q（4， ），丨QF丨= + ，

由 ，则 + = × ，解得：p=2，

∴抛物线x2=4y

（2）

解：设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，

则x1x2=﹣4，

由y= x2，求导y′= ，

直线MA：y﹣ = （x﹣x1），即y= x﹣ ，

同理求得MD：y= x﹣ ，

，解得： ，则M（2k，﹣1），

∴M到l的距离d= =2 ，

∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABMS△CDM= 丨AB丨丨CD丨d2，

= （丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）d2，

= y1y2d2= ×d2，

=1+k2≥1，

当且仅当k=0时取等号，

当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1

【解析】（1）求得P和Q点坐标，求得丨QF丨，由题意可知， + = × 即可求得p的值，求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入抛物线方程，由韦达定理x1x2=﹣4，求导，根据导数的几何意义，求得切线方程，联立求得M点坐标，根据点到直线距离公式，求得M到l的距离，利用三角形的面积公式，即可求得△ABM与△CDM的面积之积的最小值．