Question

5．如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD的中点，且CD=$\sqrt{3}$，连接AM并延长交⊙O于N．
（1）求∠ANC的大小；
（2）求弦CN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据已知条件得到OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OC，根据三角形的内角和得到∠COD=60°，由邻补角的定义得到∠AOC=120°，于是得到∠ANC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，；
（2）连接AC，由的第三轮得到OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
则OC=OB，
∵D是OB的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$OC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠ANC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，；
（2）连接AC，
∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∴OD=1，
∴AD=3，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠N，
∵∠CAM=∠NAC，
∴△ACM∽△ANC，
∴$\frac{AC}{AM}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$=$\frac{CN}{1}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．