Question

矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为
（　　）

• A、2.8
• B、4.2
• C、5.6
• D、7

Answer 1

考点：菱形的判定

专题：

分析：根据轴对称求出AE=AF=AP，求出A、B、C、D都在菱形EFGH的边上，求出OA=AP=5，根据勾股定理求出ON，求出OP、OQ，即可得出答案．

解答：
解：矩形ABCD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得：AC=BD=10，
如图，根据轴对称性质得：∠PAF+∠PAE=90°+90°=180°，
即A在菱形EFGH的边EF上，
同理B、C、D都在菱形EFGH的边上，
∵AP=AF=AE，即A为EF的中点，
同理C为GH的中点，
∵四边形EFGH是菱形，
∴AF=CG，AF∥CG，
∴四边形AFGC是平行四边形，
∴FG=AC=10，
∵AE=AF=AP，
∴AP=5，
∵AO=

1

2

AC=5，
∴AO=AP，
∴△APO是等腰三角形，
过A作AN⊥BD于N，
则N为OP的中点，
在Rt△DAB中，由三角形的面积公式得：AN×AB=×AD×AB，
∴AN=4.8，
由勾股定理得：ON=

52-4．82

=1.4，
则OP=2.8，
同理OQ=2.8，
所以PQ=2.8+2.8=5.6，
故选C．

点评：本题考查了轴对称性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，能综合运用知识解题是解此题的关键，题目比较典型，但有一定的难度．