Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠BAC=30°，BC=a，延长CB至点D，使BD=AB，求△ACD的周长和面积．

Answer 1

分析：在Rt△ABC中，由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得到AB=2BC=2a，通过解该直角三角形得到AC=

3

a；然后由三角形外角性质证得∠D=60°，则在Rt△ADC中，易求AD的长度；最后根据周长和面积公式解答．

解答：解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠BAC=30°，BC=a，
∴AB=2BC=2a，AC=

BC

tan30°

=

3

a，∠ABC=60°，
又∵BD=AB，
∴∠D=∠DAB．
∴∠ABC=2∠D=60°，则∠D=30°，
∴AD=2AC=2

3

a．
∴△ACD的周长是：AD+CD+AC=（3+3

3

）a；
△ACD的面积是：

1

2

AC×CD=

1

2

×

3

a×3a=

3 3

2

a²．
答：△ACD的周长和面积分别是（3+3

3

）a，

3 3

2

a²．

点评：本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．