Question

已知：a+b+c=0，则a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

)+3的值是

 

．

Answer 1

分析：根据a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，然后对a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

)+3进行化简，然后由a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）判断出a³+b³+c³=3abc，据此可以得到答案．

解答：解：若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

)

=a• b+c bc +b• a+c ac +c• a+b ab =a• -a bc +b• -b ac +c• -c ab =- a3+b3+c3 abc

∵a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
∴当a+b+c=0时，a³+b³+c³-3abc=0
∴a³+b³+c³=3abc
∴原式=-3+3=0，
故答案为0．

点评：本题主要考查立方根的知识点，解答本题的关键是把a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

a

+

1

b

)+3化到最简，此题难度不大．