题目内容
某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（DC＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②），图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点．
（1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN2+DC2=BN2成立，请说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：
（1）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，有CN2+DC2=BN2成立，请说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一个等式在横线上直接表示出探究的结论：
CN2+CM2=DM2+BN2
CN2+CM2=DM2+BN2
．证明你的结论．
分析：（1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND2=NC2+CD2，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN2=NC2+CD2．
（2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2．
（2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN2+CM2=DM2+BN2．
解答：解：（1）选择图①证明：连接DN．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠DCN=90°，
∵ON⊥BD，∴NB=ND，
∵∠DCN=90°，
∴ND2=NC2+CD2，
∴BN2=NC2+CD2．
（2）CM2+CN2=DM2+BN2．
证明：理由如下：
延长MO交AB于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO，
∴OE=OM，BE=DM，
∵NO⊥EM，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，
∴CN2+CM2=BE2+BN2，
即CN2+CM2=DM2+BN2．
故答案为：CN2+CM2=DM2+BN2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠DCN=90°，
∵ON⊥BD，∴NB=ND，
∵∠DCN=90°，
∴ND2=NC2+CD2，
∴BN2=NC2+CD2．
（2）CM2+CN2=DM2+BN2．
证明：理由如下：
延长MO交AB于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，∠ABC=∠DCB=90°，
∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO，
∴△BEO≌△DMO，
∴OE=OM，BE=DM，
∵NO⊥EM，
∴NE=NM，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴NE2=BE2+BN2，NM2=CN2+CM2，
∴CN2+CM2=BE2+BN2，
即CN2+CM2=DM2+BN2．
故答案为：CN2+CM2=DM2+BN2．
点评：本题考查了图形的旋转变化，在解题过程中要综合应用勾股定理、矩形、正方形的特殊性质及三角形全等的判定等知识．
练习册系列答案
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