Question

如图，是一次国际数学教育大会的会徽的图案，蕴藏着许多数学知识．在△AB₁C中，∠C是直角，AC=CB₁=1，以AB₁为直角边在△AB₁C外作Rt△AB₁B₂，并且CB₁=B₁B₂；以AB₂为直角边在△AB₁B₂外作Rt△AB₂B₃，且CB₁=B₁B₂=B₂B₃…照此方式继续下去，以△ACB₁为第一个三角形，则第n个三角形的面积与第（n+1）个三角形的面积比为

n

n+1

．

Answer 1

分析：根据题意分别求出第一、第二、第三个三角形的面积及直角边的长，找出规律进行解答即可．

解答：解：∵Rt△AB₁C中，AC=CB₁=1，
∴AB₁=

1+1

=

2

，
∴S△AB1C=

1

2

×1×1=

1

2

；
∵Rt△AB₁B₂中，B₁B₂=1，AB₁=

2+1

=

3

，
∴S△AB1B2=

2

2

，
…
∴第n次变化后，一直角边总不变，长度为1；另一直角边变为

n+1

，
∴第（n+1）个三角形与第n个三角形面积的比值是

n 2

n+1 2

，即

n

n+1

．
故答案为：

n

n+1

．

点评：本题考查的是等腰直角三角形，解答此类题目时要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．