Question

如图，已知BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC于点E，F为BE上一点，且DF=FB．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若BE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接BD，

∵BC是⊙O的切线，AB是直径，

∴AB⊥BC，

∴∠BFD+∠OBD=90°，

∵DF=FB，

∴∠FDB=∠FBD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是圆的切线；

（2）解：∵AB是圆的直径，

∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，

∵∠FDB=∠FBD，

∴∠FDE=∠FED，

∴FD=FE=FB，

在直角△OBC中，tanC===，

在直角△CDF中，tanC=，

∴=，

∵DF=1，

∴CD=2，

在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=，

∴OB=BC=，

∴⊙O的半径是．