Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（-m，-m）为AC上的点（m＞0）
（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；

（3）若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：
（i）∠APQ+∠PBQ的度数和不变；
（ii）∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．

Answer 1

分析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90° 得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；
（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；
（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．

解答：解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ACB=90°，
又△ABC的面积为9，
∴OA=OC=OB=3，
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；

（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．
理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，
∵D（-m，-m），
∴DM=DN=OM=ON=m，
∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，
∴DC=DO，
∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，
∴△PCD≌△BOD （SAS），
∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，
∴∠BDP=∠ODC=90°，
即DP⊥DB．

（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．
∵∠PQA=60°，
∴△QSP是等边三角形，
∴PS=PQ，∠SPQ=60°，
∵PO是AB的垂直平分线，
∴PA=PB 而PA=AB，
∴PA=PB=AB，
∴∠APB=60°，
∴∠APS=∠BPQ，
∴△APS≌△BPQ，
∴∠PAS=∠PBQ，
∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线性质等知识，根据已知作出正确辅助线从而得出三角形△APS≌△BPQ是解决问题的关键．