题目内容
如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．（1）请你用含x的代数式表示h；
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少．
【答案】分析：（1）由于MN∥BC，故△AMN∽△ABC，由相似关系求解．
（2）由于翻折后点A可能在△ABC的内部，也可能在BC边上，也可能在△ABC的外部，故需分类讨论．由于A′是动点，故重合的面积随A′位置的变化而变化．
解答：
解：（1）∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴
∴
．
（2）∵△AMN≌△A1MN
∴△A1MN的边MN上的高为h
①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时
y=S△A1MN=
MN•h=
x•
x=
x2（0＜x≤4）
②当A1落在四边形BCNM外时，如图（4＜x＜8）
设△A1EF的边EF上的高为h1
则h1=2h-6=
x-6
∵EF∥MN
∴△A1EF∽△A1MN
∵△A1MN∽△ABC
∴△A1EF∽△ABC
∴
∵S△ABC=
×6×8=24
∴S△A1EF=（
）2×24=
x2-12x+24
∵y=S△A1MN-S△A1EF=
x2-（
x2-12x+24）=-
x2+12x-24
所以y=-
x2+12x-24（4＜x＜8）
综上所述
当0＜x≤4时，y=
x2，取x=4，ymax=6
当4＜x＜8时，y=-
x2+12x-24，取x=
，ymax=8
∴当x=
时，y值最大ymax=8．
点评：本题着重考查了二次函数的综合应用、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
（2）由于翻折后点A可能在△ABC的内部，也可能在BC边上，也可能在△ABC的外部，故需分类讨论．由于A′是动点，故重合的面积随A′位置的变化而变化．
解答：
解：（1）∵MN∥BC∴△AMN∽△ABC
∴
∴
．（2）∵△AMN≌△A1MN
∴△A1MN的边MN上的高为h
①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时
y=S△A1MN=
MN•h=x•x=x2（0＜x≤4）②当A1落在四边形BCNM外时，如图（4＜x＜8）
设△A1EF的边EF上的高为h1
则h1=2h-6=
x-6∵EF∥MN
∴△A1EF∽△A1MN
∵△A1MN∽△ABC
∴△A1EF∽△ABC
∴
∵S△ABC=
×6×8=24∴S△A1EF=（
）2×24=x2-12x+24∵y=S△A1MN-S△A1EF=
x2-（x2-12x+24）=-x2+12x-24所以y=-
x2+12x-24（4＜x＜8）综上所述
当0＜x≤4时，y=
x2，取x=4，ymax=6当4＜x＜8时，y=-
x2+12x-24，取x=，ymax=8∴当x=
时，y值最大ymax=8．点评：本题着重考查了二次函数的综合应用、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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