Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记为S₁，取BE的中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF．得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂，照此规律，则S₂₀₁₂=

3

24025

．

Answer 1

分析：求出△ABC的面积是

3

4

，求出DE是三角形ABC的中位线，根据相似三角形的性质得出

S△CDE

S△CAB

=(

DE

AB

)2=

1

4

，求出S_△CDE=

1

4

×

3

4

，S_△BEF=

1

4

×

3

4

，求出S₁=

1

2

×

3

4

，同理S₂=

1

2

×S_△BEF=

1

2

×

1

4

×

3

4

，S₃=

1

2

×

1

4

×

1

4

×S₄=

1

2

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

3

4

，推出S₂₀₁₂=

1

2

×

1

4

×

1

4

×…×

1

4

×

3

4

（2011个

1

4

），即可得出答案．

解答：解：∵BC的中点E，ED∥AB，
∴E为BC中点，
∴DE=

1

2

AB，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

S△CDE

S△CAB

=(

DE

AB

)2=（

1

2

）²=

1

4

，
∵△ABC的面积是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∴S_△CDE=

1

4

×

3

4

，
推理

S△BEF

S△BAC

=

1

4

，
∴S_△BEF=

1

4

×

3

4

∴S₁=

3

4

-

1

4

×

3

4

-

1

4

×

3

4

=

1

2

×

3

4

，
同理S₂=

1

2

×S_△BEF=

1

2

×

1

4

×

3

4

，
S₃=

1

2

×

1

4

×

1

4

×

3

4

S₄=

1

2

×

1

4

×

1

4

×

1

4

×

3

4

，
…，
S₂₀₁₂=

1

2

×

1

4

×

1

4

×…×

1

4

×

3

4

（2011个

1

4

），
=

2 3

42013

=

3

24025

，
故答案为：

3

24025

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是总结出规律，题目比较好，但是有一定的难度．