Question

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为

6

．

Answer 1

分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，

BF=CN ∠DBF=∠DCN=90° DB=DC

，
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，

DM=MD ∠FDM=∠MDN DF=DN

，
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
故答案为：6．

点评：此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．