Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上，求：正方形DEFG的边长．

Answer 1

分析 首先过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程$\frac{DG}{16}$=$\frac{6-x}{6}$，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果．

解答 解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=8，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{{AB}^{2}{-BM}^{2}}$=6，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，
∴$\frac{DG}{16}$=$\frac{6-x}{6}$，
解得：DG=-$\frac{8}{3}$x+16，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=-$\frac{8}{3}$x+16，
解得x=$\frac{48}{11}$，
∴正方形DEFG的边长为$\frac{48}{11}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题的关键．