Question

【题目】如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点.

(1)若的周长为15 cm，求的长.

(2)若，求的度数.

Answer 1

【答案】(1) 15cm ； (2)40°.

【解析】

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，再求得△CMN的周长=AB，由此求得AB的长；（2）根据三角形的内角和定理求得∠MNF+∠NMF的度数，再求出∠A+∠B的度数，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，利用三角形的内角和定理列式计算即可求解．

（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM=CM，BN=CN，

∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，

∵△CMN的周长为15cm，

∴AB=15cm；

（2）∵∠MFN=70°，

∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°，

∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，

∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，

∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°，

∵AM=CM，BN=CN，

∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，

∴∠MCN=180°-2（∠A+∠B）=180°-2×70°=40°．