Question

（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S_△ABC ；

   （2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S_△ABC ；

   （3）如图③，四边形ABCD，若AC＝m，BD＝n，对角线AC、BD交于O点，它们所成

        的锐角为β．求四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD} ．

 

Answer 1

（1）如图①，过点A作AH⊥BC，垂足为H．

     在Rt△AHC中， ＝sin60°，

     ∴AH＝AC·sin60°＝4×＝2．    

     ∴S_△ABC＝×BC×AH＝×6×2＝6．

（2）如图②，过点A作AH⊥BC，垂足为H．

     在Rt△AHC中，＝sinα，

     ∴AH＝AC·sinα＝b sinα．

     ∴S_△ABC＝×BC×AH＝ab sinα

（3）如图③，分别过点A，C作AH⊥BD，CG⊥BD，垂足为H，G．

     在Rt△AHO与Rt△CGO中，AH＝OAsinβ，CG＝OCsinβ；

     于是，S_△ABD＝×BD×AH＝n×OAsinβ； 

    S_△BCD＝×BD×CG＝n×OCsinβ； 

     ∴S_{四边形ABCD}＝ S_△ABD＋S_△BCD＝n×OAsinβ＋n×OCsinβ＝n×(OA＋OC)sinβ

＝mnsinβ．