Question

已知二次函数y=-x²+2x+3．
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求A，B，C的坐标（点A在点B的左侧），并画出函数图象的大致示意图；
（3）根据图象，求不等式x²-2x-3＞0的解集．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数的图象,二次函数与不等式（组）

专题：计算题

分析：（1）先配方得到顶点式y=-（x-1）²+4，则可写出M点的坐标；
（2）把x=0和y=0代入y=-x²+2x+3求出对应的函数值和自变量的值，从而得到A、B、C三点的坐标；
（3）观察函数图象得到当x＜-1或x＞3时，函数图象上x轴下方，即y＜0，x²-2x-3＞0．

解答：解：（1）∵y=-（x-1）²+4，
∴抛物线顶点M的坐标为（1，4）；
（2）把x=0代入y=-x²+2x+3得y=3；把y=0代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0）、B点坐标为（3，0）、C点坐标为（0，3）；
如图；

（3）当x＜-1或x＞3时，y＜0，x²-2x-3＞0．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线；抛物线的顶点式为y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，对称轴为直线x=-

b

2a

，顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），当a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．