Question

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，连接DF，给出以下结论：①DF∥AB；②∠DAE=

1

2

（∠ACB-∠ABC）；③DF=

1

2

（AB-AC）；④

1

2

（AB-AC）＜AD＜

1

2

（AB+AC）．其中正确的是

 

（把所有正确判断的序号都填在横线上）．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，进而得到AC=AG，GF=CF，再证明DF是△CBG的中位线，可得DF∥AB，DF=

1

2

BG，进而得到①③正确；然后延长AD到M使AD=DM，证明△ADC≌△MDB可得BM=AC，再利用三角形的三边关系可得答案．

解答：解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵

∠GAF=∠CAF AF=AF ∠AFG=∠AFC

，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF∥AB，
故①正确；
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD=∠CAE-∠BAD
∴2∠DAE=∠BAE+∠CAE-2∠BAD=∠AEC-∠B+∠CAE-2∠BAD
=180°-∠C-（∠B+2∠BAD）=180°-∠C-∠FDC
∵DF∥AB，∴∠FDC=∠B
∴2∠DAE=180°-∠C-∠B，
故②错；
∵DF是△CBG的中位线，
∴DF=

1

2

BG=

1

2

（AB-AG）=

1

2

（AB-AC），
故③正确；
延长AD到M使AD=DM，
在△ADC和△MDB中

AD=DM ∠ADC=∠MDB DB=CD

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=AC，
∵AB-BM＜AM＜AB+BM，
∴AB-AC＜AM＜AB+AC，
∴

1

2

（AB-AC）＜AD＜

1

2

（AB+AC）．
故④正确，
故答案为：①③④．

点评：此题主要考查了三角形中位线，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．