Question

如图（1），抛物线y=-12与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，四边形OACD是菱形．
（1）求点D的坐标；
（2）如图（2），设垂直于x轴的动直线x=n与抛物线交于点M，与边CD交于点N记四边形AMCN的面积为s，试证明s是n的函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD，交OC于E点，令y=-12=0，求出B坐标为（3，0）和C点的坐标为（8，0），根据菱形的性质，AD⊥OC，AE=ED，可知E点坐标为（4，0），设D点坐标为（4，-y），则A点坐标为（4，y），点A又在抛物线上，A点坐标代入，即可求出y的值，进而D点坐标求出．
（2）设直线CD的直线方程为y=kx+b，待定系数法求出k和b的值，求出直线解析式，进而求出N点的坐标，联立x=n和抛物线的函数解析式，求出M点的坐标，进而求出线段MN的长，即可求出四边形AMCN的面积为s的表达式：s=S_△AMN+S_△CMN，证明s是n的函数．
解答：解：（1）连接AD，交OC于E点，
∵抛物线y=-12与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴令y=-12=0，
即x²-11x+24=0，
解得x₁=3，x₂=8，
∴点B的坐标为（3，0），C点的坐标为（8，0），
∵OACD是菱形，
∴AD⊥OC，AE=ED，
∴E点坐标为（4，0），
设D点坐标为（4，-y），则A点坐标为（4，y），
∵A点在抛物线y=-12上，
∴y=-×16+22-12=2，
∴D点坐标为（4，-2），则A点坐标为（4，2）；

（2）设直线CD的直线方程为y=kx+b，C点坐标为（8，0），D点坐标为（4，-2），
则，解得k=，b=-4，
∴直线CD的解析式为y=x-4，
当x=n时，y=n-4，
∴N点坐标为（n，n-4），
直线M在抛物线y=-12上，M的横坐标为x=n，
∴y=-n²+n-12，
∴M点坐标为（n，-n²+n-12），
线段MN的长度为-n²+n-12-n+4=-n²+5n-8，
四边形AMCN的面积s=S_△AMN+S_△CMN=×（-n²+5n-8）×（n-4）+×（-n²+5n-8）×（8-n）=-n²+10n-16，
∴s是n的函数．
点评：本题主要考查二次函数综合题的知识点，本题涉及了菱形的性质、直线解析式得求法，特别是（2）问需要把四边形拆开成两个三角形进行面积计算，此题难度较大．