题目内容
【题目】(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系______.
(2)同题探究.
①如图②，AD是△ABC的中线，AB=6，AC=4，求AD的范围：
②如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.
【答案】(1)AD=AB+DC；(2)①1<AD<5；②AB=AF+CF，证明见解析.
【解析】
(1)利用平行线的性质及角平分线的定义，易证∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，从而可以推出∠F=∠DAF，再利用等角对等边，可证AD=DF，利用线段中点的定义，可知BE=CE，然后利用AAS证明△ABE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等，可证得AB=CF，再根据DF=DC+CF，可得AB，AD，DC之间的数量关系；
(2)①延长AD至E，使DE=AD，连结BE，利用SAS证得△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质，可得AC=BE，由此将AD，AB，AC转化到一个三角形中，然后利用三角形的三边关系定理，即可求出AD的取值范围；②延长AE交DF的延长线于点G，根据已知易得CE=BE，∠BAE=∠G，再利用 AAS证明△AEB≌△GEC，利用全等三角形的对应边相等可证得AB=GC，然后利用角平分线的定义推出∠FAG=∠G，从而可得到FA=FG，然后根据CG=CF+FG，可证得结论.
解：(1)AD=AB+DC；
理由：延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥CD，AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=DF，
∵点E是CB的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB=CF，
∵AD=DF=DC+CF，
∴AD=AB+DC；
(2)①延长AD至E，使DE=AD，连结BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE，AE=2AD，
在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，
∴2<2AD<10，
∴1<AD<5；
②AB=AF+CF；
证明：延长AE交DF的延长线于点G，
∴E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF.
