Question

如图一次函数y=-

3

3

x+1的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形△ABC．
（1）求△ABC的面积；
（2）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由一次函数解析式可求出OA、OB的长度，在Rt△OAB中可求出AB的长度，再由等边三角形的性质可求出△ABC的面积；
（2）①以AB为腰的等腰三角形有三个，②以AB为底边的等腰三角形有1一个，分别求出点M的坐标即可．

解答：解：（1）∵函数解析式为：y=-

3

3

x+1，
∴点B坐标为（0，1），点A坐标为（

3

，0），
∴OA=

3

，OB=1，
在Rt△OAB中，AB=

OB2+OA2

=2，
则等边三角形ABC的面积为

3

4

AB²=

3

．

（2）存在点M，使△MAB为等腰三角形
①若以AB为腰，如图所示：

当点M位于M₁位置时，OM₁=OA+AM₁=OA+AB=2+

3

，
此时点M₁坐标为（2+

3

，0）；
当点M位于M₂位置时，OM₂=OA=

3

，
此时点M₂坐标为（-

3

，0）；
当点M位于M₃位置时，OM₃=AB=2，
此时点M₃坐标为（

3

-2，0）；
②若以AB为底边，如图所示：

作AB的中垂线交x轴于点M₄，则此时△M₄AB为等腰三角形，
∵OB=1，OA=

3

，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M₄N是AB的中垂线，
∴AN=1，
在Rt△ANM₄中，AM₄=

AN

cos∠OAB

=

2 3

3

，
则OM₄=OA-AM₄=

3

3

，
则此时M₄的坐标为（

3

3

，0）．
综上可得存在点M，使△MAB为等腰三角形，点M的坐标为：M₁（2+

3

，0）或M₂（-

3

，0）或M₃（

3

-2，0）或M₄（

3

3

，0）．

点评：本题考查了一次函数综合题，涉及了点的坐标与线段长度之间的转换，含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，解答本题需要我们数形结合，将所学的知识点串在一起，融会贯通，灵活求解．