Question

完成下列证明：
当p₁•p₂=2（q₁+q₂）时，求证：方程x²+p₁x+q₁=0和方程x²+p₂x+q₂=0中，至少有一个方程有实数根．
证明：假设

 

，那么△₁=p12-4q₁

 

0，△2=

p

2 2

-4q2

 

0．
∴p12

 

4q₁，

p

2 2

 

4q₂，
∴p12+

p

2 2

 

4（q₁+q₂）

 

2p₁p₂，
∴(p1-p2)2

 

0，这与(p1-p2)2

 

0相矛盾．
∴假设

 

不成立，故所求证的结论正确．

Answer 1

考点：反证法

专题：

分析：至少有一个方程有实根的对立面是两个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设所有方程都有实数根，然后由根的判别式解得方程都没有实数根得(p1-p2)2 的取值范围，进而得出矛盾，原命题正确．

解答：证明：假设方程x²+p₁x+q₁=0和方程x²+p₂x+q₂=0中都没有实数根，
那么△₁=p12-4q₁＜0，△2=

p

2 2

-4q2＜0．
∴p12＜4q₁，

p

2 2

＜4q₂，
∴p12+

p

2 2

＜4（q₁+q₂）＜2p₁p₂，
∴(p1-p2)2＜0，这与(p1-p2)2＜0相矛盾．
∴假设方程x²+p₁x+q₁=0和方程x²+p₂x+q₂=0中都没有实数根不成立，故所求证的结论正确．

点评：本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．