Question

如图所示，DE是?ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果∠A=60°，AD=5，求菱形AEFD的面积．

Answer 1

分析：（1）可先证明四边形DAEF是平行四边形，再由角的关系求得∠AED=∠1，根据等角对等边得AD=AE，再依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形；
（2）由已知求得两条对角线的长，根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半，求得菱形的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AE，
∵EF∥AD，
∴四边形DAEF是平行四边形，
∵∠2=∠AED，
∵DE是?ABCD的∠ADC的平分线
∴∠1=∠2，
∴∠AED=∠1．
∴AD=AE．
∴四边形AEFD是菱形．

（2）解：∵∠A=60°，
∴△AED为等边三角形．
∴DE=5，连接AF与DE相交于O，则EO=

5

2

．
∴OA=

AE2-EO2

=

5

2

3

．
∴AF=5

3

．
∴S_菱形AEFD=

1

2

AF•DE=

25

2

3

．

点评：此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．