Question

8．已知关于x的方程x²+kx+$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$=0（k为实数）的两个实数根分别为x₁、x₂，则$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2．

Answer 1

分析 先根据方程有实数根，利用根的判别式可得k²-4（$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$）≥0，整理得-2（k-3）²≥0，而（k-3）²≤0，可求k=3，把k=3代入方程，再解方程可得x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，进而可求则$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ 的值．

解答 解：根据题意可得
∵方程有实数根，
∴△=b²-4ac≥0，
即k²-4（$\frac{3}{4}$k²-3k+$\frac{9}{2}$）≥0，
∴-2（k-3）²≥0，
∵（k-3）²≤0，
∴k-3=0，
即k=3，
∴原方程为：x²+3x+$\frac{9}{4}$=0，
∴x₁=x₂=-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}{-\frac{3}{2}×（-\frac{3}{2}）}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解方程，解题的关键是根据根的判别式先求出k．