Question

【题目】如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，抛物线经过三点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，点关于原点的对称点为，连接，以点为圆心，的长为半径作圆，点为直线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求周长的最小值；

（3）若动点与点不重合，点为⊙上的任意一点，当的最大值等于时，过两点的直线与抛物线交于两点（点在点的左侧），求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0，则x=3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，-3），即可求解；
（2）过点B作直线y=x-3的对称点B′，连接BD交直线y=x-3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B′B为最小值，即可求解；
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，即可求解．

解：（1）直线，令，则，令，则，

故点的坐标为、，

则抛物线的表达式为：，

则，解得：，

故抛物线的表达式为：…①；

（2）过点作直线的对称点，连接交直线于点，

直线交函数对称轴与点，连接，

则此时周长为最小值，

，则点，即：，

即点是的中点，过点，

周长最小值；

（3）如图2所示，连接并延长交圆与点，此时为最大值，

点的坐标为，

则，，

则，

设点，点，

，

解得：，故点，

将点坐标代入一次函数表达式并解得：

直线的表达式为：…②，

联立①②并解得：，

故点的坐标分别为：

过点分别作轴的垂线交于点，

则.