Question

【题目】如图，在⊙O的内接四边形ACDB中，AB为直径，AC：BC＝1：2，点D为的中点，BE⊥CD垂足为E．

(1)求∠BCE的度数；

(2)求证：D为CE的中点；

(3)连接OE交BC于点F，若AB＝，求OE的长度．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析: （1）连接AD，由D为弧AB的中点，得到AD=BD，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）由已知条件得到∠CBE=45°，根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BD，根据相似三角形的性质得到DE：AC=BE：BC，即可得到结论．
（3）连接CO，根据线段垂直平分线的判定定理得到OE垂直平分BC，由三角形的中位线到现在得到OF= AC，根据直角三角形的性质得到EF=BC，由勾股定理即可得到结论．

试题解析:(1)连接AD，

∵D为弧AB的中点，

∴AD＝BD，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝∠DBA＝45°

∴∠DCB＝∠DAB＝45°；

(2)∵BE⊥CD，

又∵∠ECB＝45°，

∴∠CBE＝45°，

∴CE＝BE，

∵四边形ACDB是圆O的内接四边形，

∴∠A+∠BDC＝180°，

又∵∠BDE+∠BDC＝180°，

∴∠A＝∠BDE，

又∵∠ACB＝∠BED＝90°，

∴△ABC∽△DBE，

∴DE：AC＝BE：BC，

∴DE：BE＝AC：BC＝1：2，

又∵CE＝BE，

∴DE：CE＝1：2，

∴D为CE的中点；

(3)连接CO，

∵CO＝BO，CE＝BE，

∴OE垂直平分BC，

设OE交BC于F,则F为BC中点，

又∵O为AB中点，

∴OF为△ABC的中位线，

∴OF＝AC，

∵∠BEC＝90°，EF为中线，

∴EF＝BC，

在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，

∵AC：BC＝1：2，AB＝，

∴AC＝，BC＝2，

∴OE＝OF+EF＝．