Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：

①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，

②AP＝FP，

③AE＝AO，

④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，

⑤CEEF＝EQDE．

其中正确的结论有（　　）

A.5个B.4个C.3个D.2个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案；

②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可；

③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题；

④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48；

⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可.

①正确：如图，连接OE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，

∴∠BOC=90°，

∵BE=EC，

∴∠EOB=∠EOC=45°，

∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO，

∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确；

②正确：如图，连接AF，

∵PF⊥AE，

∴∠APF=∠ABF=90°，

∴A，P，B，F四点共圆，

∴∠AFP=∠ABP＝45°，

∴∠PAF=∠PFA＝45°，

∴PA=PF，故②正确；

③正确：设BE=EC=a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，

∴，即AE＝AO，故③正确；

④错误：根据对称性可知，，

∴==2，

∵OB=OD，BE=EC，

∴CD=2OE，OE⊥CD，

∴ ， ，

∴， ，

∴，

∴，故④错误；

⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC，

∴，

∴，

∴EQ=PE，

∴CEEF=EQDE，故⑤正确；

综上所诉一共有4个正确，故选：B．