题目内容
如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．（1）求证：CD=AE；
（2）求AE的长．
考点：相似三角形的判定与性质,解一元二次方程-公式法,圆周角定理
专题：计算题,证明题
分析：易证△CDE∽△CAD进而求证
=
，再根据AB=AC，可得AE=CD；
（2）由△CDE∽△CAD可得
=
，设AE=x，则CE=d-x，于是x2=d（d-x），解x的值即可解题．
| CD |
| AC |
| AE |
| AB |
（2）由△CDE∽△CAD可得
| CD |
| CA |
| CE |
| CD |
解答：
（1）证明：如图，连接AD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，
∵∠ADO+∠ODB=90°，∠B+∠OAD=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，
∴CAD=∠ODB=∠EDC，又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴
=
①
又∵△ADE∽△BDA
∴
=
②
由①、②得
=
又∵AB=AC，可得AE=CD
（2）解：又由△CDE∽△CAD可得
=
，
即AE2=CD2=CE×CA
设AE=x，则CE=d-x，于是x2=d（d-x）
即有AE=x=
d（负值已舍去）
（1）证明：如图，连接AD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，
∵∠ADO+∠ODB=90°，∠B+∠OAD=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，
∴CAD=∠ODB=∠EDC，又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴
| CD |
| AC |
| DE |
| AD |
又∵△ADE∽△BDA
∴
| DE |
| AD |
| AE |
| AB |
由①、②得
| CD |
| AC |
| AE |
| AB |
又∵AB=AC，可得AE=CD
（2）解：又由△CDE∽△CAD可得
| CD |
| CA |
| CE |
| CD |
即AE2=CD2=CE×CA
设AE=x，则CE=d-x，于是x2=d（d-x）
即有AE=x=
| ||
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的证明，考查了相似三角形对应边相等的性质，考查了一元二次方程的求解，本题中求△CDE∽△CAD是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE=AD，BE=BC，过E作EF∥BC交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明
将长为12，宽为5的矩形纸片沿对角线对折后放在桌面上，那么它覆盖的桌面的面积等于用10根长度相同的木棍拼成一个三角形（不剩余木棍也不折断木棍），则只能拼成（ ）
| A、直角三角形 |
| B、等腰三角形 |
| C、等腰直角三角形 |
| D、等边三角形 |
（Figure 1）In the parallelogram ABCD，AD=2AB，a point M is mid-point of segment AD，CE⊥AB，if∠CEM=40°，then the value of∠DME is（ ）