题目内容
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE=AD，BE=BC，过E作EF∥BC交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明|| PD |
| AD |
| PC |
| BC |
| 2PF |
| EF |
考点：相似三角形的判定与性质,梯形
专题：证明题
分析：可过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N，则可得平行四边形ADME和平行四边形BEFN以及△DMF∽△FNC，进而得出对应线段成比例，再通过线段之间的转化，即可得出结论．
解答：
证明：如图，
过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N，
得平行四边形ADME和平行四边形BEFN．
所以FM=EF-AD，CN=BC-EF，DM=AE=AD，FN=BE=BC．
由△DMF∽△FNC，得
=
，即
=
，
所以
=
．
又因为
=
，即
=
．
所以当点P在线段CF上时，
-
=
-
=
+
=PF•
=
，
同理，当点P在线段DF上时，
-
=
．所以|
-
|=
．
证明：如图，过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N，
得平行四边形ADME和平行四边形BEFN．
所以FM=EF-AD，CN=BC-EF，DM=AE=AD，FN=BE=BC．
由△DMF∽△FNC，得
| FM |
| CN |
| DM |
| FN |
| EF-AD |
| BC-EF |
| AD |
| BC |
所以
| AD+BC |
| AD•BC |
| 2 |
| EF |
又因为
| DF |
| DM |
| FC |
| FN |
| DF |
| AD |
| CF |
| BC |
所以当点P在线段CF上时，
| PD |
| AD |
| PC |
| BC |
| PF+DF |
| AD |
| CF-PF |
| BC |
=
| PF |
| AD |
| PF |
| BC |
| AD+BC |
| AD•BC |
| 2PF |
| EF |
同理，当点P在线段DF上时，
| PC |
| BC |
| PD |
| AD |
| 2PF |
| EF |
| PD |
| AD |
| PC |
| BC |
| 2PF |
| EF |
点评：本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质，能够利用其性质求解一些计算、证明问题．
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