Question

观察下面的等式：2×2=4，2+2=4

3

2

×3=4

1

2

，

3

2

+3=4

1

2

，

4

3

×4=5

1

3

，

4

3

+4=5

1

3

，

5

4

×5=6

1

4

，

5

4

+5=6

1

4

，小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）可通过实际例子来验证小明的猜想是否正确；
（2）通过观察各个算式，归纳出规律，然后用字母表示数并进行进一步的验证．

解答：解：（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1×3≠1+3；

（2）将第一组等式变形为：

2

1

×2=4，

2

1

+2=4，
得出如下猜想：“若n是正整数，则

n+1

n

×(n+1)=

n+1

n

+(n+1)”，
证法1：左边=(1+

1

n

)(n+1)=(n+1)+

n+1

n

=右边，
所以猜想是正确的，
证法2：右边=

n+1

n

+

n(n+1)

n

=

(n+1)2

n

=左边，
所以猜想是正确的．

点评：本题考查了有理数的混合运算，更重要的是考查同学们阅读信息、加工信息、应用信息的能力，是一道综合考查学生学习能力的题目．