Question

16．已知a，b，c均为正数，函数y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+（c-x）^{2}}$的极小值为$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$．

Answer 1

分析 由于y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+（c-x）^{2}}$y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$，设点M（x，0），A（0，a），B（c，-b），于是得到y$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$=|MA|+|MB|，即表示x轴上动点M与两个定点A，B的距离之和，于是当三点A，M，B共线时，距离之和取得最小值，即可得到结论．

解答 解：∵y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+（c-x）^{2}}$y=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$，
设点M（x，0），A（0，a），B（c，-b），
∴$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$=|MA|，
 $\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$=|MB|，
∴y$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-a）^{2}}$+$\sqrt{（x-c）^{2}+（0-b）^{2}}$=|MA|+|MB|，
即表示x轴上动点M与两个定点A，B的距离之和，
∵a，b，c均为正数，
∴A在y轴的正半轴，B在第四象限，
∴当三点A，M，B共线时，距离之和取得最小值，
即|MA|+|MB|≥|AB|=√[（a-c）²+b²]，
∴y的最小值为$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$．
故答案为：$\sqrt{（a-c）^{2}+{b}^{2}}$．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，知道把求函数y=$\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$+$\sqrt{{b}^{2}+（c-x）^{2}}$的极小值转化为求距离之和的最小值是解题的关键．