Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c交x轴于A(2，0)，B(6，0)两点，交y轴于点C(0，2)．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若此抛物线的对称轴与直线y＝2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1∶2两部分．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线经过点，，． 　　∴，解得． 　　∴抛物线的解析式为：　　3分 　　(2)易知抛物线的对称轴是．把x＝4代入y＝2x得y＝8，∴点D的坐标为(4，8)． 　　∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8　　4分 　　连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M． 　　在Rt△MFD中，FD＝8，MD＝4．∴cos∠MDF＝． 　　∴∠MDF＝60°，∴∠EDF＝120°　　6分 　　∴劣弧EF的长为：　　7分 　　(3)设直线AC的解析式为y＝kx＋b．∵直线AC经过点． 　　∴，解得．∴直线AC的解析式为：　　8分 　　设点，PG交直线AC于N， 　　则点N坐标为．∵． 　　∴①若PN︰GN＝1︰2，则PG︰GN＝3︰2，PG＝GN． 　　即＝． 　　解得：m1＝－3，m2＝2(舍去)． 　　当m＝－3时，＝． 　　∴此时点P的坐标为　　10分 　　②若PN∶GN＝2∶1，则PG∶GN＝3∶1，PG＝3GN． 　　即＝． 　　解得：，(舍去)．当时，＝． 　　∴此时点P的坐标为． 　　综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1∶2两部分　　12分