Question

（1）如图①，在△ABC中，P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；
②已知∠A=n°，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析：（1）连接AP并延长到M，根据三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角可分别判断出∠BPM＞∠BAM，∠CPM＞∠CAM，从而得到∠BPC与∠A的大小关系；
（2）利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；
（3）同（2）的求算方法相似，直接把∠A=n°代入即可表示．

解答：证明：（1）∠BPC＞∠BAC．
连接AP并延长到M．
∵在△ABP中，∠BPM＞∠BAM，
在△ACP中，∠CPM＞∠CAM，
∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM，
∴∠BPC＞∠BAC；

（2）解：①∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

（360°-140°）=110°，
∴∠BOC=180°-110°=70°；

②由①可知∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠DBC+∠ECB）=180°-

1

2

[（360°-（180°-∠A）]
即∠BOC=（90-

1

2

n）°

点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．